Mathematik: Wie im alten Ägypten gerechnet wurde

Ägyptische Mathematik war Gebrauchsmathematik. Sie diente dazu, Getreide zu verteilen, Felder zu vermessen, Rationen zu berechnen und Bauwerke zu planen. Was von ihr erhalten ist, sind Übungsbücher für Schreiber: Aufgaben mit Lösungen, keine Lehrsätze. Aber die Lösungen stimmen erstaunlich oft — und an einer Stelle ist eine Formel überliefert, die man auch heute nicht anders schreiben würde.

Wie es funktionierte

Zahlen ohne Null

Das ägyptische Zahlensystem ist dezimal wie unseres, funktioniert aber anders. Es gibt ein eigenes Zeichen für 1, für 10, für 100, für 1000 und so weiter, und eine Zahl wird geschrieben, indem man die Zeichen so oft wiederholt, wie nötig: 324 sind drei Hunderter, zwei Zehner und vier Einer. Einen Stellenwert und eine Null braucht das System nicht — jedes Zeichen trägt seinen Wert selbst.

In den Papyri steht nicht die Hieroglyphenschrift, sondern die Schreibschrift, das Hieratische, mit eigenen, kürzeren Zeichen für die Zahlen.

Multiplizieren durch Verdoppeln

Ein Einmaleins, wie wir es lernen, brauchten die Ägypter nicht. Sie multiplizierten durch fortgesetztes Verdoppeln. Um 13 × 12 zu rechnen, schreibt man:

• 1 × 12 = 12 ✓
• 2 × 12 = 24
• 4 × 12 = 48 ✓
• 8 × 12 = 96 ✓

Dann sucht man die Zeilen, deren linke Zahlen zusammen 13 ergeben (1 + 4 + 8), und addiert die rechten: 12 + 48 + 96 = 156. Man muss nur verdoppeln und addieren können. Dass das immer funktioniert, liegt daran, dass sich jede Zahl als Summe von Zweierpotenzen schreiben lässt — dasselbe Prinzip, auf dem heute die Binärzahlen der Computer beruhen.

Brüche: nur Stammbrüche

Die eigentliche Eigenheit sind die Brüche. Ägyptische Rechner schrieben jeden Bruch als Summe verschiedener Stammbrüche — Brüche mit 1 im Zähler, also 1/2, 1/3, 1/4 und so weiter. Einzige Ausnahme ist 2/3, für das es ein eigenes Zeichen gab. Statt 3/4 schreibt man 1/2 + 1/4, statt 2/5 schreibt man 1/3 + 1/15.

Das Zerlegen ist mühsam, und deshalb beginnt der Papyrus Rhind mit einer Tabelle: Sie zerlegt 2/n für die ungeraden Zahlen bis 101 in Stammbrüche. Ein Schreiber schlug dort nach, wie man ein Nachschlagewerk benutzt.

Fläche und Volumen

Die Fläche eines Kreises berechnet der Papyrus Rhind in Aufgabe 50 so: Vom Durchmesser zieht man ein Neuntel ab und nimmt den Rest zum Quadrat. Für einen Durchmesser von 9 ergibt das 8 × 8 = 64. Rechnet man das in unsere Formel um, entspricht es einem Wert von π ≈ 256/81 ≈ 3,16 — rund 0,6 Prozent zu viel.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfs — einer Pyramide, deren Spitze abgeschnitten ist — berechnet der Papyrus Moskau in Aufgabe 14. Das Beispiel hat eine Grundseite von 4, eine Deckseite von 2 und eine Höhe von 6; das Ergebnis ist 56. Der Rechenweg entspricht genau der Formel, die man heute schreibt:

V = h/3 · (a² + a·b + b²)

Das ist nicht angenähert, sondern exakt. Wie die Ägypter darauf gekommen sind, verrät der Papyrus nicht.

Der Seked: Neigung in Handbreit

Für die Neigung einer Pyramidenseite hatten die Ägypter ein eigenes Maß, den Seked. Er gibt an, um wie viele Handbreit die Fläche zurückweicht, wenn man eine Elle nach oben geht. Eine Königselle hat sieben Handbreit. Ein Seked von 7 wäre also eine Neigung von 45°; je kleiner der Seked, desto steiler die Pyramide.

Die Aufgaben 56 bis 60 des Papyrus Rhind üben genau das. In Aufgabe 56 hat eine Pyramide eine Grundseite von 360 Ellen und eine Höhe von 250 Ellen. Die halbe Grundseite, 180 Ellen, geteilt durch die Höhe ergibt 18/25 Elle Rücksprung je Elle Höhe — mal sieben Handbreit ist das ein Seked von 5 1/25 Handbreit.

Woher wir das wissen

Die ägyptische Mathematik ist aus wenigen Texten bekannt, und zwei davon tragen fast alles:

• Der Mathematische Papyrus Rhind im British Museum, über fünf Meter lang, mit der 2/n-Tabelle und 84 Aufgaben. Er ist eine Abschrift: Der Schreiber Ahmes datiert sie in das 33. Jahr des Hyksos-Königs Apophis und sagt am Anfang selbst, dass er eine ältere Vorlage kopiert. Die übliche Lesung setzt diese Vorlage in die Zeit Amenemhets III.; die Mathematikhistorikerin Annette Imhausen schreibt vorsichtiger nur „Mittleres Reich?“ — mit Fragezeichen. Älter als die Handschrift ist der Inhalt in jedem Fall.
• Der Mathematische Papyrus Moskau im Puschkin-Museum, mit 25 Aufgaben aus dem Mittleren Reich, darunter die Aufgabe zum Pyramidenstumpf.

Dazu kommen einige Fragmente und Verwaltungstexte, in denen gerechnet wird, und die Bauwerke selbst, an denen man die Planung nachmessen kann.

Was es nicht gibt, sind Beweise. Die Texte zeigen, wie man eine Aufgabe löst, an einem Beispiel mit konkreten Zahlen. Warum der Weg richtig ist, sagen sie nicht.

Im Vergleich zu heute

Der größte Unterschied ist nicht das Ergebnis, sondern die Form. Die ägyptische Mathematik kennt keine Variablen, keine allgemeinen Formeln und keine Beweise. Sie lehrt Verfahren an Beispielen: So rechnet man es, hier ist eine Aufgabe, hier die Probe. Das ist näher an einem Kochrezept oder einem Computerprogramm als an einem modernen Lehrbuch — wer die Schritte befolgt, kommt zum richtigen Ergebnis, auch ohne zu wissen, warum.

Die allgemeine, beweisende Mathematik ist eine Leistung der Griechen, Jahrhunderte später. Die Griechen selbst haben den Ursprung der Geometrie allerdings in Ägypten gesucht: Herodot erzählt, dass sie dort entstanden sei, weil die Felder nach jeder Nilflut neu vermessen werden mussten. Wie viel die Griechen tatsächlich aus Ägypten übernahmen, ist umstritten.

Die Stammbrüche wirken heute umständlich — sie sind es auch. Aber sie haben einen praktischen Vorteil, der leicht übersehen wird: Wer 3 Brote an 5 Personen verteilen soll, bekommt mit 1/2 + 1/10 eine Anleitung zum Schneiden. Jeder bekommt eine Hälfte und ein Zehntel. Mit „0,6“ muss man erst überlegen.

Das Multiplizieren durch Verdoppeln ist nicht nur ein Kuriosum. Es ist ein vollständiges Verfahren, das mit sehr wenig Vorwissen auskommt — und es beruht auf demselben Zahlprinzip wie die Rechenwerke heutiger Computer.

Was man oft liest — und was stimmt

„Die Ägypter kannten π.“ Nicht im heutigen Sinn. Sie hatten ein Verfahren für die Kreisfläche, das einem Wert von etwa 3,16 entspricht. Eine Konstante, die für jeden Kreis dasselbe Verhältnis beschreibt, kommt in den Texten nicht vor.

„In der Cheops-Pyramide ist π versteckt.“ Umfang geteilt durch Höhe ergibt ziemlich genau 2π. Das folgt aber direkt aus dem Seked: Die Cheops-Pyramide hat einen Seked von 5½ Handbreit, bei 440 Ellen Seitenlänge und 280 Ellen Höhe. Der Umfang ist 4 × 440 = 1760 Ellen, und 1760 : 280 = 44 : 7 = 2 × 22/7. 22/7 ist die bekannte Näherung für π — sie steckt in der Wahl von 5½ Handbreit, nicht in einer geheimen Botschaft.

„Die Seilspanner legten rechte Winkel mit dem 3-4-5-Dreieck an.“ Dafür gibt es keinen ägyptischen Beleg. Die Vermutung stammt von dem Mathematikhistoriker Moritz Cantor, 1880 im ersten Band seiner Vorlesungen über Geschichte der Mathematik — und er schrieb selbst dazu, er denke sie sich „gegenwärtig allerdings noch ohne jede Begründung“. Seither wird sie wiederholt, ohne dass ein Papyrus oder Bauwerk sie stützt. Das Spannen der Messschnur gab es wirklich — als Gründungsritual eines Tempels, bei dem König und die Göttin Seschat die Pflöcke einschlagen. Über ein 3-4-5-Dreieck sagen diese Darstellungen nichts.

„Die Ägypter konnten nur addieren.“ Sie konnten multiplizieren, dividieren, mit Brüchen rechnen, Flächen und Volumina bestimmen und Gleichungen lösen, in denen eine unbekannte Menge gesucht wird. Sie taten es nur auf anderen Wegen als wir.